Wybrane zagadnienia dynamiki układów niezachowawczych (Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej)

W książce omówiono układy dynamiczne, jakimi w szczególności są konstrukcje mechaniczne, szeroko używane w praktyce inżynierskiej. Fundamentalnie ważną cechą takich układów jest ich stabilność, przez inżynierów nazywana statecznością, ujęta jako wytrzymałość na zaburzenia stanów równowagi.

Za pierwowzór układów dynamicznych można uznać modele punktów materialnych w polu sił potencjalnych, na przykład opisujące układy ciał niebieskich. Są to zagadnienia o skończonej liczbie stopni swobody.

W tej książce natomiast rozpatrywane są układy ciągłe, reprezentujące ciała odkształcalne. Stąd wynika, iż należy rozpatrywać funkcje zmiennej przestrzennej, a mianowicie przemieszczenie i prędkość, które razem definiują stan układu i podlegają ewolucji czasowej.

W celu badania ruchu ośrodka ciągłego formułuje się równania ruchu wraz z warunkami początkowymi i brzegowymi, które razem determinują przyszłą trajektorię każdej cząsteczki rozpatrywanego medium. W tym opracowaniu skupimy się na szczególnej klasie zagadnień, a mianowicie na zginaniu belek elastycznych, opisanych teorią Jacoba Bernoulliego, Leonarda Eulera i Daniela Jacobiego.

Równanie Bernoulliego-Eulera, oparte na hipotezie nieodkształconych włókien prostopadłych do linii środkowej belki, dotyczy ponadto prętów i kolumn, o ile są one smukłe, a przekrój jest stały lub umiarkowanie zmienny.

w sytuacji osiowo ściskanej kolumny już sam L. Euler opisał zjawisko utraty stateczności rozwiązania zerowego, podając analityczne wzory równocześnie na siłę krytyczną, jak i na postać przemieszczeń powodujących ugięcie i ewentualnie uszkodzenie kolumny.

Okazuje się,wyraźny wpływ na wartość siły krytycznej, jak i na postać utraty stabilności, posiadają warunki brzegowe i obciążenia poprzeczne, zależne od przemieszczenia. Takimi obciążeniami są najczęściej siły spowodowane odkształceniem podłoża, na przykład Winklerowskiego, albo podpór, w tym rozciągliwych i tłumiących, lepkosprężystych.

Warunki brzegowe to najczęściej utwierdzenie kolumny na dolnym końcu kolumny, w trakcie gdy górny koniec może być swobodny. Ciekawsze według autorów są takie warunki jak warunek Becka czy Reuta, które należą do obciążeń siłą śledzącą.

W takich przypadkach, w odróżnieniu od obciążeń siłą nieśledzącą, kierunek, moduł albo cząsteczka, do której przykładana jest siła, są zmienne. Na przykład przy kolumnie Becka na górny koniec kolumny działa oprócz siły osiowej, ściskającej o zadanym module, siła poprzeczna, taka, iż siła wypadkowa ma za każdym razem kierunek styczny do linii środkowej kolumny na jej końcu.

w sytuacji układów z siłami śledzącymi analiza statyczna, bez uwzględnienia sił bezwładności, nie zezwala na uzyskania poprawnych wyników. Podejście takie w przypadku konserwatywnego obciążenia, to jest warunków brzegowych Eulera, jest dopuszczalne.

Istnieje wtedy, przy krytycznej wartości siły, ścieżka stanów równowagi odchodząca od rozwiązania zerowego do dowolnie dużych wychyleń. Taki scenariusz utraty stabilności nosi nazwę dywergentnej utraty stateczności.

Początkowo mylnie sądzono, że skoro takiej opcji nie ma przy warunkach Becka, to kolumna Becka nie ma skończonej siły krytycznej. Okazuje się jednak, że scenariusz jest inny, a siła krytyczna, jednak kilkakrotnie wyższa od siły Eulera, ma wartość skończoną.

Kolumna Becka przy podkrytycznym poziomie obciążenia, lekko wytrącona ze stanu równowagi zerowego, będzie drgać, przy czym amplitudy każdej formy własnej pozostaną na za każdym razem takie same jak bezpośrednio po pobudzeniu.

Po przekroczeniu poziomu krytycznego co najmniej jedna z form własnych będzie miała rosnącą w czasie amplitudę. Taki sposób utraty stabilności, prowadzący do zniszczenia konstrukcji, nazywamy flutterem.

W książce wykazano, że nie tylko wyżej opisane objawy związane z utratą stabilności różnią układy z siłami śledzącymi od takich z obciążeniami konserwatywnymi. Ważny jest jeszcze fakt, iż w opisie matematycznym występują operatory niesamosprzężone, a po dyskretyzacji powstają macierze niesymetryczne, gdy analizujemy siły śledzące.

Kontynuując rozważania omówiono podstawowe cechy układów dynamicznych, przytaczając w celu ilustracji mnóstwo popularnych i mniej znanych przykładów. Omówiono wstępnie równania i zjawiska, pokazując wykresy – bez wchodzenia na tym etapie w detale metod analizy i w sposoby uzyskiwania wyników.

Następnie zajęto się modelowaniem belek i kolumn, wyprowadzając równanie Bernoulliego-Eulera i omawiając pewne uogólnienia. Szczególną uwagę skupiono na takich elementach, jak podłoża i podpory, zarówno rozciągliwe jak i tłumiące,, a także na warunkach brzegowych, w tym Eulera, Reuta i Leipholtza.

bardzo ważny rozdział poświęcono omówieniu aparatu analitycznego i numerycznego. Metody rozwiązania równań algebraicznych, różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych wprowadzono, aby je przedyskutować na wstępnych przykładach, a narzędzia dobrano do potrzeb tej książki.

W kolejnym rozdziale rozpatrzono krzywe standardowe układów opisujących modele poprzednio wprowadzone. Zastosowano przedstawione metody analityczne i numeryczne, uzyskując w ten sposób ważne wyniki dotyczące obiektów badań.

Zwrócono przy tym uwagę na wrażliwość wyników na zmiany danych. Celem ostatecznym jest poprawa cechy badanych konstrukcji w sensie optymalizacji ich parametrów, takich jak atrybuty materiałowe czy eometryczne.

Maksymalizacja siły krytycznej poprzez dobór kształtu przy niezmiennych kosztach materiału lub minimalizacja kosztów kolumny przy zachowaniu wymaganego poziomu siły krytycznej, to dwa zadania programowania nieliniowego w tym kontekście.

Początkowe badania oparto na analizie modalnej, następnie omówiono zastosowania i weryfikację doświadczalną. Podano także wyniki uzyskane z zastosowaniem symulacji dynamicznej. Numeryczne rozwiązanie zagadnień początkowych dotyczących zdyskretyzowanych równań ruchu realne jest nawet w wielu przypadkach, w których dotychczas prezentowane metody zawodzą.

W szczególności wpływy nieliniowości, a także czynników losowych mogą być ujęte ilościowo przez użycie technik symulacji dynamicznej. Autorzy, prowadząc wykłady na studiach doktoranckich Politechnik Warszawskiej, Krakowskiej i Koszalińskiej, mają nadzieję, iż niniejsza książka będzie pomocna młodym badaczom kierunków mechanicznych.

Liczymy na jednostajne warunki i dalszy dynamiczny rozwój wyłożonej teorii i jej implementacji w sztuce inżynierskiej.