Miniatury matematyczne 59 pitagoras, jego trójkąty (Aksjomat Piotr Nodzyński)

Na tegoroczny zeszyt miniatur dla liceów złożyły się cztery artykuły. Pobieżne przewertowanie książeczki może sprawić wrażenie, iż zbiór pozostał zdominowany przez geometrię: w tytule pierwszej miniatury mamy Pitagorasa i trójkąty, słowo geometria pojawia się aż dwukrotnie w tytule drugiej. Tytuł ostatniej miniatury może nie kojarzyć się z geometrią,starczy przerzucić kartki, aby zobaczyć wykresy podobne do tych, jakie pojawiają się na lekcjach geometrii. Jednak pierwsze wrażenie jest złudne. W rzeczywistości materiał zawarty w miniaturach okazuje się być bliższy arytmetyce niż geometrii.

Miniatura pierwsza jest połączeniem swego rodzaju eseju o Pitagorasie z przedstawieniem trójek pitagorejskich. Geometrycznie rzecz biorąc, szukamy wszelkich trójkątów prostokątnych o bokach całkowitych.jednocześnie odpowiedź jak i metody służące jej uzasadnieniu są przeważnie arytmetyczne. W istocie bowiem poszukujemy wszelkich całkowitych rozwiązań równania Pitagorasa x2 + y2 = z2.

Miniatura druga traktuje o geometrii kartki w kratkę. Głównym obiektem zainteresowania są tu tzw. Wielokąty kratowe, czyli wielokąty, które można tak umieścić na kartce zeszytu w kratkę, żeby wierzchołki leżały w punktach przecięcia linii tworzących kratki. Autor stara się przekonać Czytelnika, iż stanowią one pomost między arytmetyką i geometrią. Z jednej strony bowiem do ich analizy niezbędne są metody arytmetyczne. Z drugiej strony, przy ich pomocy można pewne fakty czysto arytmetyczne udowodnić geometrycznie. Zauważmy, iż trójkąty pitagorejskie z pierwszej miniatury są pewnymi szczególnymi trójkątami kratowymi. Z drugiej strony, równanie Pitagorasa zadaje w przestrzeni pewien stożek i poszukiwanie całkowitych rozwiązań tego równania to w istocie poszukiwanie punktów kratowych na tej powierzchni.
Miniatura trzecia przenosi nas w świat algebry. Ucząc się matematyki, z algebrą spotykamy się po raz pierwszy, gdy pewne mocne, lecz na razie nieznane liczby zastępujemy literami. Oswajając się z rachunkiem na „literkach", zaczynamy rozumieć wzory algebraiczne jako ogólne prawa rządzące rachunkiem na ilośćch. Poznając świeże pojęcia, piszemy analogiczne wzory, w których litery mogą zastępować już nie tylko liczby,także wektory, funkcje itp. W kolejnym etapie – przynajmniej instynktownie – zaczynamy traktować wyrażenia algebraiczne jako samoistne obiekty, na których możemy prowadzić operacje arytmetyczne. Autorka zaprasza Czytelnika do zrobienia następnego kroku, w którym symbolami zostają oznaczone już nie tylko obiekty działań, ale także same działania. Pozwala to dostrzec analogie między z pozoru całkiem zróżnicowanymi „światami" ( na przykład, co łączy dodawanie liczb rzeczywistych i składanie funkcji wzajemnie jednoznacznych). Prowadzi to do abstrakcyjnych struktur algebraicznych (grup, pierścieni i ciał). Pozornie miniatura ta całkowicie wyłamuje się z nurtu geometrycznego, lecz w rzeczywistości ma widocznie więcej wspólnego z geometrią, niżby to na pierwszy rzut oka wynikało. Istotnym źródłem idei prowadzących do pojęcia grupy były grupy symetrii obiektów geometrycznych.

Kodą zamykającą całość jest zaledwie kilkustronicowa miniatura o twierdzeniu Erdosa i Mordella. Samo twierdzenie jest efektownym i elementarnym wynikiem z geometrii trójkąta i aż dziw bierze, że musiało czekać na swoje odkrycie aż do lat trzydziestych XX wieku. Nieprzewidzianie miniatura ta wpasowuje się w ciąg opowiadań o związkach arytmetyki i geometrii, lecz tym razem łącznikiem są nie rozważane obiekty matematyczne, ale ludzie. Z dwóch wymienionych matematyków Paul Erdos jest wyraźnie lepiej znany i to jemu autorzy poświęcili kilka słów. O związkach autora dowodu, Louisa Mordella, z arytmetyką napomyka zaledwie przypis. Mordell interesował się punktami wymiernymi (czyli punktami o współrzędnych wymiernych) na pewnych specjalnych krzywych zwanych krzywymi eliptycznymi. (Na marginesie, krzywe te wyróżniają się tym, iż na ich punktach można w naturalny sposób zadać strukturę grupy... ). Pracując nad tym zagadnieniem postawił hipotezę udowodnioną w latach osiemdziesiątych XX w. Przez Gerarda Faltingsa, iż na dostatecznie ogólnych krzywych ilość punktów wymiernych jest skończona. Z kolei dowód Faltingsa utorował drogę dowodowi znacznego twierdzenia Fermata, które mówi, że jeśli w równaniu Pitagorasa zamienimy kwadraty wyższymi potęgami, to świeże równanie nie będzie miało innych rozwiązań całkowitych jak oczywiste rozwiązanie zerowe. Ten powrót do Pitagorasa zamyka koło opowieści.

ISBN: 9788364660382
Kod paskowy: 9788364660382
Autorzy: Mentzen Mieczysław K., Mentzen Tomasz
Rok wydania: 2017
Kod wydawcy: 24528
Miejscowość: Toruń
ilość stron: 68
Oprawa: Miękka
PKWiU: 58.11.1
Format: 16.5x24.0cm
Głębokość (mm): 5
Waga: 0.158
Języki: polski
Grupa towarowa: Książka