Miniatury matematyczne 62 (AKSJOMAT Piotr Nodzyński)

Oddajemy do dłoni Czytelników kolejny tomik Miniatur Matematycznych, konwencjonalnie przygotowany poprzez Komitet Organizacyjny Międzynarodowego Konkursu Kangur Matematyczny. Niniejsza książeczka przeznaczona jest przede wszystkim młodzieży szkół gimnazjalnych, lecz liczymy także na to, iż i nauczyciele znajdą w niej atrakcyjny materiał do użycia w pracy z uczniami bardzo zainteresowanymi matematyką i pragnącymi treści nauczane w szkole zobaczyć w szerszym kontekście.
Niniejszy tomik składa się z trzech artykułów, które dotyczą matematyki w czystej formie, czyli arytmetyki i geometrii. Obie te nauki należą do najstarszych i stanowią podwalinę całej dzisiejszej matematyki. Wyrosły one w czasach starożytnych jako odpowiedź na potrzebę stworzenia uniwersalnego języka do opisu spraw związanych z życiem powszednim takich jak na przykład budownictwo świeckie i sakralne (geometria) czy opracowywanie wyników pomiaru kształtów geometrycznych lub handel (arytmetyka). Z biegiem czasu zostały wyabstrahowane z kontekstu zastosowań i stały się same w sobie celem rozważań.
Pierwsza miniatura dotyczy zagadnienia znanego ze szkoły, mianowicie konstrukcyjnego wyznaczania stycznych do okręgu przechodzących przez ustalony punkt znajdujący się na zewnątrz koła wyszczególnionego przez ten okrąg. Temat jest omawiany na lekcjach matematyki. Okazuje się jednak, iż konstrukcje szkolne to jedynie drobna część całego zbioru różnorakich sposobów rozwiązania tego problemu. W artykule przedstawiono aż czternaście konstrukcji, większość wraz z uzasadnieniem ich poprawności. Obok konwencjonalnych konstrukcji platońskich, to znaczy przeprowadzanych z zastosowaniem cyrkla i linijki, znalazły się także takie, które można wykonać przy użyciu samego cyrkla lub samej linijki.
Kolejna miniatura, to arytmetyczna pauza pomiędzy lekcjami geometrii. Traktuje o kongruencjach liczbowych i ich własnościach i użyciach do wyznaczania reszt z dzielenia liczb całkowitych przez ustalone liczby naturalne. W dostępny sposób wprowadza język kongruencji, zaczynając od kongruencji o module 10, która ze względu na swoją interpretację związaną z zapisem liczb w systemie dziesiątkowym, świetnie ilustruje ogólne własności. Dodatkowym walorem tego artykułu jest nad wyraz znaczna liczba mocnych przykładów, które pokazują na czym polegają prawidłowości opisane językiem wyrażeń algebraicznych.
Ostatnia miniatura to, jak już wspomnieliśmy, kolejna lekcja geometrii, podobnie jak pierwszy artykuł poszerzająca wiedzę znaną ze szkoły. Dotyczy pojęcia potęgi punktu względem okręgu, które ukryte jest w szkole w twierdzeniu o stycznej i siecznej. W artykule zaprezentowano różne twierdzenia związane z tym pojęciem oraz z pojęciem prostej potęgowej dwóch niewspółśrodkowych okręgów. W miniaturze tej Czytelnik odnajdzie też mnóstwo ciekawych zadań wraz z rozwiązaniami i kilka zadań do samodzielnego rozwiązania, wśród których najtrudniejsze zostały opatrzone wskazówkami.